MATEMÁTICAS IV: marzo 2014

BLOQUE III
Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

$f:x \mapsto P(x)\,$

donde $P(x)\,$ es un polinomio definido para todo número real $x\,$ ; es decir, una suma finita de potencias de $x\,$ multiplicados por coeficientes reales, de la forma:¹

$P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado	Nombre	Expresión
0	función constante	y = a
1	función lineal	y = ax + b es un binomio del primer grado
2	función cuadrática	y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado
3	función cúbica	y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado cero

La gráfica de una función polinomial de grado 0, que es de la forma f(x) = a es una recta horizontal.

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado uno

La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece de forma oblicua.

y = m x + b

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 2

Las funciones polinómicas de grado 2 son del tipo $f(x)=ax^2+bx+c$ , con $a,b,c \in\mathbb{R}$ . Sus representaciones gráficas son las famosas parábolas. Hay dos posibles representaciones que dependen del signo de $a$ . Son éstas:

$a > 0$	$a < 0$

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 3

Las funciones polinómicas de grado 3 son del tipo $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , con $a,b,c,d \in\mathbb{R}$ . Hay cuatro posibles representaciones gráfica de este tipo de funciones que dependen del signo de $a$ y de la relación entre $b^2$ y $3ac$ . Por tanto, para poder representarlas debemos tener en cuenta sus coeficientes. Os dejo una tabla con las cuatro gráficas posibles:

	$a > 0$	$a < 0$
$b^2 \le 3ac$
$b^2 > 3ac$

Características de las funciones polinómicas de grados: cero, uno y dos. El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones:
* Es de grado cero, se le conoce como función constante. * Es de grado uno, también conocida como función lineal. * Es de grado dos, se le conoce como función cuadrática.
Parámetros de las funciones de grado: cero, uno y dos.
-La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es: f(x)= a, donde “a” es una constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a)
-La función lineal. La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es: y=mx+b donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen. Vista como una función se representa de la siguiente manera: f(x) = mx+b
-La función cuadrática. Las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2, éstas se expresan en su forma general como f(x)= ax^2+bx+c ,con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero (a ≠ 0) La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas.

BLOQUE II
Funciones especiales y transformaciones de gráficas

FUNCIÓN INVERSA: Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

^_ Despejar la variable independiente x.

^_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.^er cuadrante y del 3.^er cuadrante.

Ejemplo: A es inversamente proporcional a B. Si A=3 cuando B=5, hallar a A cuando B=7

2 1/7

Función escalonada : Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO:

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

FUNCIÓN IDENTIDAD:

Es la función que es igual a la variable independiente.

f(x) = x

Su representación es una línea recta a 45º del eje x

FUNCIÓN CONSTANTE:

Consideremos la función más sencilla, por ejemplo . La imagen de cualquier número es siempre 2. Si

hacemos una tabla de valores tendríamos:

x -2 -1 0 1 2

y 2 2 2 2 2

Por tanto si representamos todos esos valores, y más que podríamos calcular, todos están en el 2 y la

gráfica resulta una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto 2

En general una función constante es una función cuya fórmula es , donde k es un número

real. Su representación gráfica es una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto k.

BLOQUE I Operaciones con distintos tipos de funciones

FUNCIONES

En matemáticas, una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Por ejemplo: el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A=π·r²

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de Bque le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

k → k², o sencillamente f(k) = k²;

g: V → A

p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, la función

tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función

, el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +...+ a_nxⁿ (donde a₀, a₁, a₂,..., a_n son constantes y nun entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

MATEMÁTICAS IV

BLOQUE I Operaciones con distintos tipos de funciones.

* Características matemáticas que definen las relaciones entre dos magnitudes enfatizando las de carácter funcional.

BLOQUE II Funciones especiales y transformaciones de gráficas.

* Diferentes tipos de funciones matemáticas, así como operaciones y transformaciones algebraicas y/o geométricas.

BLOQUE III Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

* Situaciones de un modelo cero, uno y dos grados empleando criterios de comportamientos de datos.

jueves, 13 de marzo de 2014